Financial mathematics

Documento disponible en PDF

Capitalización simple

$C_n=C_0(1+i \cdot n)$

• $C_0$ capital inicial
• $C_n$ capital final
• $n$ número de períodos
• $i$ tipo de interés

Tantos equivalentes

$i=I_k\cdot k$

$k$ frecuencia de capitalización: número de partes iguales en las que se divide el período de referencia

Algunos ejemplos:

• $k=2$, semestre; $i_2$ tanto de interés semestral
• $k=3$, cuatrimestre; $i_3$ tanto de interés cuatrimestral
• $k=4$, trimestre; $i_4$ tanto de interés trimestral
• $k=12$, mes; $i_{12}$ tanto de interés mensual

Descuento simple

$D=C_n-C_0$

$D$ descuento o rebaja

Descuento racional

Se calcula utilizando la capitalización simple: $C_n=C_0(1+i \cdot n)$ Por tanto: $D_r=C_n-C_0=\frac{C_n \cdot n \cdot i}{1+n\cdot i}$

Descuento comercial

Se usa utilizando un tipo de descuento $d$

$C_0=C_n(1-n\cdot d)$

$d$ tipo de descuento

Capitalización compuesta

$C_n=C_0(1+i)^n$

Tantos equivalentes

$(1+i)=(1+i_k)^k$

Descuento racional

$D_r=C_n-C_0=C_n\left[1-(1+i)^{-n}\right]$

Descuento comercial

$D_c=C_n-C_0=C_n\left[1-(1-d)^n\right]$

Rentas

Clasificación:

• Según cuantía de los términos:
  • Constante
  • Variable
    • Progresión geométrica
    • Progresión aritmética
• Según el número de términos:
  • Temporal
  • Perpetua
• Según el vencimiento del término:
  • Pospagable
  • Prepagable

Temporal

Pospagable

Unitaria:

$a_{n,i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$

Geométrica: $A(C;q)_{n,i}$

• si $q\neq 1+i$:

$C\frac{1-\left(\frac{q}{1+i}\right)^n}{1+i-q}$

• si $q = 1+i$:

$\frac{C \cdot n}{1+i}$

Aritmética:

$A(C,d)_{n,i}=\left(C+\frac{d}{i}+dn\right)a_{n,i}-\frac{dn}{i}$

Prepagable

Unitaria:

$\ddot{a}_{n,i}=(1+i)a_{n,i}$

Geométrica:

$\ddot{A}(C;q)_{n,i}=(1+i)A(C;q)_{n,i}$

Aritmética:

$\ddot{A}(C;d)_{n,i}=(1+i)A(C;d)_{n,i}$

Otras

Diferida:

$(1+i)^{-k}a_{n,i}$

Anticipada:

$(1+i)^h S_{n,i}$

Perpetua

Prepagable

Unitaria:

$a_{\infty,i}=\frac{1}{i}$

Geométrica:

• si $q<1+i$:

$A(c;q)_{\infty,i}=\frac{C}{1+i-q}$

• si $q\geq 1+i$: $\infty$

Aritmética:

$A(c;d)_{\infty,i}=\left(C+\frac{d}{i}\right)\frac{1}{i}$

Pospagable

Unitaria:

$\ddot{a}_{\infty,i}=(1+i)a_{\infty,i}=\frac{1+i}{i}$

Geométrica:

$\ddot{A}(C;q)_{\infty,i}=(1+i)A(C;q)_{\infty,i}$

Aritmética:

$\ddot{A}(C;d)_{\infty,i}=(1+i)A(C;d)_{\infty,i}$

Préstamos

Magnitudes:

• $C_0$ importe del préstamo
• $n$ número de pagos
• $i$ tipo de interés efectivo
• $a_k$ término amortizativo al final del período $k$
• $I_k$ cuota de interés del período $k$
• $A_k$ cuota de amortización en el momento $k$
• $C_k$ capital pendiente de amortización en el momento $k$
• $m_k$ capital total amortizado al final del período $k$

Generalidades

$a_k=I_k+A_k$

$m_k=A_1 + A_2 + \dots + A_k$

$I_k = C_{k-1} i$

$C_0 = A_1 + A_2 + \dots + A_n$

$C_k = A_{k+1} + A_{k+2} + \dots + A_n$

$C_k = C_0 - m_k$

Método francés

Definición: pagos pospagables, $a_k=a$

$C_0=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$

$A_{k+1}=A_k(1+i)$

$A_{k+1} = A_1 (1+i)^k$

$A_1 = \frac{C_0\cdot i}{(1+i)^n - 1}$

$A_k=A_1(1+i)^{k-1}$

$m_k=A_1\frac{(1+i)^k-1}{i}$

$C_k=C_0(1+i)^k-a\frac{(1+i)^k-1}{i}$

$C_k=a\frac{1-(1+i)^{k-n}}{i}$

Método italiano

Definición: pagos pospagables, $A_k=A$

$A=\frac{C_0}{n}$

$m_k=A_1+A_2+\dots+A_k=A\cdot k$

$C_k=C_0-k\cdot A$

$C_k=(n-k)A$

Método americano

Definición:

• Pagos pospagables de intereses $a_k=C_0 \cdot i$ para $k=1,2,\ldots,n-1$
• Último pago: intereses y principal $a_n=C_0(1+i)$

$C_k=C_0\; \forall k \neq n$

Gestión de riesgo

Tipo spot, tipo forward

TIR

$P=\sum_{t=1}^n\frac{C_t}{(1+r)^t}+\frac{\text{Valor reembolso}}{(1+r)^n}$

• $P$ precio de mercado
• $C_t$ cupón del período t
• $r$ TIR

Duración Macaulay

$D=\frac{1}{P}\sum_{t=1}^n \frac{F_t t}{(1+TIR)^t}$

• $P$ precio del bono
• $F_t$ Flujo del período t (cupones y principal)
• $TIR$ tipo de interés del mercado
• $n$ número de períodos hasta vencimiento

Duración modificada

$D^*=\frac{D}{1+TIR}$